中国传统文化中的数学算法：勾股定理 I
天没有阶梯可以攀登，地没有尺子可以度量，请问有什么办法可以知道天之高地之广？
商高的回答
“勾广三，股修四，径隅五。”
“勾广三，股修四，径隅五。”
商高的意思是指按“勾三股四弦五”的比例去算。那么到底是怎么算得呢？来看左图，根据相似二角形关系，就有：
日 高 股 斜 至 日 弦 日 下 勾 日 下 勾
如果能知道日下，就可以计算日高和斜至日。但关键的日下如何计算，商高并未说明。问题：能否算出日下？
周公的后代陈子把商高的“勾三股四弦五”的结论推而广之，称为下述的“商高定理”:
“求斜至日者，以日下为勾，以日高为股，勾股各自乘，并以开方除之，得斜至日。”
“求斜至日者，以日下为勾，以日高为股，勾股各自乘，并以开方除之，得斜至日。”
此言被载入《周髀算经》，写成式子就是
斜 至 日 日 下 日 高
对照勾股定理的现代表述就能知道“商高定理”和“勾股定理”是一回事了。
关键点
在《周髀算经》中，已经记载有“勾股定理’的一般描述了！
在《周髀算经》中，已经记载有“勾股定理’的一般描述了！
2赵爽和刘徽的证明
2002 年北京国际数学家大会会标
刘徽的证明
同一时代的数学家刘徽，也是沿用这种方法给出“青朱出入图，（见左图），将青、朱两块移出，拼入，便很简单地证明了勾股定理。
证明核心思想
“勾自乘为朱方，股自乘为为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幕，开方除之，即弦也。”
“勾自乘为朱方，股自乘为为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幕，开方除之，即弦也。”
3出入相补原理
我国著名数学家吴文俊院士通过深入研究后，把以上这些方法用现代语言总结为如下“出入相补原理“。
定理 3.1
一个平面图形从一处移至他处，面积不变。又把面积分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情况也是这样。
一个平面图形从一处移至他处，面积不变。又把面积分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情况也是这样。
[1] 吴文俊，数学机械化，科学出版社，北京，2003
出入相补原理与完全平方公式
使用出入相补原理，我们立刻可以得到初等代数中很有用的完全平方公式：
对于第一个恒等式，它的正确性只要见左图就一目了然了。
而对于第二个恒等式，我们也来给一直观证明。见左图，红色部分是个边长为 的正方形，加上蓝色部分和绿色部分（这两块的面积都是 ）后，就是一个边长为 的正方形与一个边长为 的正方形之和。也就是说
即
4勾股定理的其它证明
公元前 6 世纪毕达哥拉斯的证明：
公元前 3 世纪欧几里得的证明:
公元 16 世纪达芬奇的证明
公元 18 世纪美国总统 Garfield 的证明
5求解三角形面积的秦九韶公式
秦九韶公式
我们来讲一个勾股定理的应用，即秦九韶公式。中国的秦九韶在他的著作《数书九章》中提到了一个已知不等边三角形的三边 求三角形面积的公式 :
之所以强调不等边，因为这是计算三角形面积最困难的一种情况。
秦九韶公式的推导
虽然秦九韶在《数书九章》中没有写出推导过程来，但应用勾股定理来证明是简洁的。见上图，显然
我们想办法将 用 表示。根据勾股定理有
那么只要将 或 用 表示就可以了。
注意至 ，结合
可知
那么
海伦公式
对此公式适当变形：
如果记半周长为 ，那么
这就是海伦公式。海伦生活在约公元一世纪，是希腊亚历山大时期著名的数学家、测量学家和机械发明家。
秦九韶公式另证
我们还是给出一个具有古代特色的证明吧。秦九韶当初是对不等边三角形提出面积公式，将三边命名为大斜、中斜、小斜。公式为：
面 积 小 斜 大 斜 大 斜 小 斜 中 斜
见上图，我们在大斜上作三角形的高，将大斜分为两部分，分别作为一个直角三角形的弦与股。由于
三 角 形 的 面 积 高 大 斜
问题可转化为求高。
由于
弦 股 勾 弦 股 大 斜 中 斜 小 斜
已知勾和弦股和，要将股算出来，这相当于解一个二元方程组。刘徽做过这个问题，有公式
股 弦 股 勾 弦 股
该公式的证明稍后再议。
我们可以得到
股 大 斜 中 斜 线 小 斜 大 斜
这样根据
高 小 斜 股
就可以计算出高，三角形的面积可得。虽然秦的公式看似古怪，但从这个证明过程来看是自然的。
我们来看方才未证明的公式，也就是下式:
股 弦 股 勾 弦 股
记 勾 ， 股 ， 弦 ，则 。
公 式 右 边 公 式 右 边
一个疑问是这是不是我国古代数学家的证明？尤其是当中使用了恒等式 这一步，该推导很值得怀疑。
现在采用出入相补原理，给出另外一个证明。如上图所示，根据面积关系：
于是
股 弦 股 ） 弦 （ 弦 十 股 股
股 弦 股 弦 股 弦 股 弦 股 勾 弦 股
本文转自：CAM传习录返回搜狐，查看更多